, com a métrica:
chamada Métrica de Poincaré.
O disco hiperbólico de Poincaré tem as seguintes aparências:
O disco de Poincaré é um modelo de geometria hiperbólica em que a linha é representada por um arco de um círculo cujas extremidades são perpendiculares a fronteira do disco.
As extremidades do arco podem ser especificadas por dois ângulos ao redor do disco 
e 
. Definindo:
Então a trigonometria mostra que no diagrama acima:
então o raio do círculo que forma o arco é:
e seu centro é 
. O semi-ângulo subtendido pelo arco então é:
O disco hiperbólico de Poincaré é um mapa conforme, assim, ângulos entre segmentos podem ser medidos diretamente. Há um isomorfismo entre o modelo de Poincaré e o de Klein-Beltrami.